阿萊西奧·菲加利：友好的數學家
“我需要在我能獲得的好成績和獲得這樣的好成績所花費的時間之間取得平衡。我總是在優化，想付出最少的努力就達成結果?！?/blockquote>1
阿萊西奧·菲加利（Alessio Figalli）1984年出生于羅馬。父親是工程學教授，母親是一名高中古典學老師。菲加利的家里到處都是關于希臘歷史和神話的書。菲加利喜歡踢足球、看動畫片，和他的朋友一起出去玩，據他回憶，每天放學，他總是能做出理性選擇，先完成作業， 這樣就可以玩得盡興。
“我需要在我能獲得的好成績和獲得這樣的好成績所花費的時間之間取得平衡。我總是在優化，想付出最少的努力就達成結果。”菲加利從小就喜歡數學，因為數學對他來說很容易，他不用花費多少時間學習就可以學得很好，他真正熱切地學習數學是后來的事情。在意大利，學 生可以就讀古典高中或者科學高中。菲加利喜歡科學，但他的父母希望他進古典高中，他心甘情愿地接受了，因為覺得古典高中的女生數量一般會比科學高中多。
意大利數學家阿萊西奧·菲加利（Alessio Figalli）
菲加利在高三時開始深入學習數學，在此之前，他更關心的事情是踢足球。他父親的數學家同事鼓勵菲加利參加國際數學奧林匹克競賽， 該競賽吸引了世界上數學頭腦最好的年輕人。菲加利很驚喜的發現，原來有些數學問題沒有直截了當的解決方案，你必須自己去創造這些方案。 菲加利后來考進了比薩高等師范學校（Scuola Normale Superiore of Pisa），這所大學招收在數學和科學方面有天賦的學生。菲加利馬上就發現之前的教育給自己帶來的限制：當時18歲的他和意大利的頂尖學生一起上數學課，而他甚至不知道如何求導。
但是那些觀察仔細的人都能看到，菲加利是一個很有潛力的學生。他的學習速度很快，一年內就趕上了他的同齡人。第二年開始時， 他開始研究他在比薩高等師范學校的導師路易吉·安布羅西奧（Luigi Ambrosio）撰寫的一篇專業性非常強的論文。安布羅西奧覺得這篇論文自己的這位新學生讀起來會覺得困難，但是菲加利一周內就完全理解了。 菲加利兩年完成了他的本科學位。2004 年，安布羅西奧成了菲加利的 研究生導師，又安排他跟著生活在法國里昂的才華橫溢的數學家塞德里克·維拉尼（Cédric Villani）學習——幾年后，維拉尼獲得了菲爾茨獎。
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菲加利2016年從得州大學奧斯汀分校來到蘇黎世聯邦理工學院任教。他在校園里有一間公寓，但是他很少會連續待兩個星期以上。更多的時候，他住在英國，妻子米凱拉·雅克貝利（Mikaela Iacobelli）是杜倫大學的數學家。二人相識于2013年，當時菲加利在羅馬大學做了一次演講，雅克貝利其時正在羅馬大學讀博。據雅克貝利回憶，羅馬大學的一位老師在介紹菲加利時念了很長一段成就，菲加利對此做出的反應讓她印象深刻。“他看起來有點尷尬，因為他真的很謙虛。在日常生活中， 我總是忘記他的數學有多好。”雅克貝利說。
菲加利在世界各地都有很多合作者。他經常全世界到處飛——他聲稱自己不是太受時差影響——他也經常在蘇黎世接待其他數學家。2018年5月，麻省理工學院的大衛·杰里森（David Jerison）訪問了菲加利， 希望能夠與他在 Brunn-Minkowski 不等式相關問題上取得進展。他們在黑板上推演著各種想法。有時他們進展快速，有時沉默良久，琢磨如何進行下一步。僅僅到了第二天，他們就取得了一些實際進展。“菲加利的速度令人難以置信，”杰里森后來說道，“在解決基本問題、找到能夠給我們提供信息的要點上面都很快。”
當遇到任何新問題時，菲加利喜歡從這個問題的幾何意義入手。例如， 他會畫出一些晶體在加熱下會有哪些極端的變形方式，因為他知道最終的穩定性證明必須考慮到這些情況。“我喜歡畫畫，通過畫畫，我能獲得一種直覺，很容易地發現關鍵問題是哪些。”
成為一名成功的數學家需要很多不同的品質：專業技能，獨創性， 能夠在極大的不確定性下堅持不懈。這些品質菲加利都有，但是他身上最突出的是他的性格：他似乎不會被數學帶來的壓力壓垮。“你看不到他表現出任何痛苦，”安布羅西奧說，“也許有一些，但并不明顯。我覺得，他的樸素、友好的個性是他成功的一個重要因素。”
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假如書架上放著n本書，那么將這套書整體向右移動一個位置的最佳方法是，將第n本書向右移動一個位置，然后將第（n-1）本書向右移動一個位置…… 依此類推，最后將第1 本書向右移動一個位置。這個方法的“成本（cost）”是n步。還有另外一種最優解法的“成本”也 是n步，那就是直接將第1本書向右移動n個位置。這兩種方法都是最優輸運映射。
大約250年前，法國數學家蒙日（Gaspard Monge）在其作品中第一次對這類問題進行了嚴格分析，他分析了如何將建筑材料從來源地運輸到建筑地點，能使成本最低。從抽象的幾何學的角度來看這個問題， 蒙日得出的結論是，最優輸運映射是使建筑材料行經路程最短的那個。
最優輸運問題非常直觀，然而它背后蘊藏的數學復雜性不容小覷。 其復雜性來源于將材料從一個位置移動到另一個位置，或者更復雜的情 況下，將多個物品從多個初始位置移動到多個目標位置的多種可能性。
例如，如果不局限于用一個個小推車來運輸建筑材料，那么或許可以將一個小推車中的建筑材料分送到多個目標位置，比如說用鏟子來分割。為了找到最優方法，運輸材料可以被分割為無限小的分量，然后確定這一份運到這里，那一份運到那里。這樣就會有無限多的自由度，只有用數學分析才能研究無限小或無限大尺度上的變化。
此后約150年間，蒙日的工作一直無人繼續發展，部分原因是缺乏必要的數學工具。到了20世紀40年代，經濟學家和數學家康托羅維奇 （Leonid Kantorovich）應用測度論和泛函分析這些現代數學工具，讓這個主題重現生機。他擴寬了這個問題的設置，使之包含更復雜的情形， 例如幾家面包店為幾家不同的咖啡店供應物品。在這種情況下，最優輸運映射將面包店與咖啡店匹配，使得運輸烘焙食品的總成本最低。1975年，康托羅維奇因為他的工作獲得了諾貝爾經濟學獎。
法國數學家蒙日（Gaspard Monge）雕像
20世紀80年代，數學家在最優輸運領域取得了一些重要的理論進展，爆炸式地引發了在城市規劃、工程設計、流體力學、圖像處理、形狀識別和生物學等領域的新應用。這些進展也刺激了最優輸運在數學領域內的應用，尤其是在黎曼幾何和偏微分方程方面。菲加利及其合作者弗朗西斯科·馬基（Francesco Maggi）與阿爾多·普拉特利（Aldo Pratelli）研究的等周問題（isoperimetric problem），就是它在偏微分方程方面的一個典型例子。
經典的等周問題可以闡述為：對于確定數量的圍欄，什么形狀所包圍的土地面積最大？可以證明，最佳形狀是一個圓，要用圍欄包圍一塊固定的面積，圓形能使圍欄的長度最小化。肥皂泡為等周問題提供了另 一個絕佳例子：在包圍固定體積的空氣的情況下，肥皂泡使得一種特定類型的能量——肥皂薄膜的表面張力最小化。
當物理學家說一個肥皂泡穩定時，意思是指如果輕微地碰一下肥皂泡，它只會輕微地晃動，一個輕微的碰觸不會導致形狀發生極大的改變。 而數學家則會用公式和不等式來描述當肥皂泡被輕微碰觸時，到底會發生什么。他們會證明，數學表征具有一定程度的穩定性，與我們在自然界中觀察到的相符合。
晶體和肥皂泡類似，它們也采用了能量最小化的形狀，盡管這是一 種由晶體的原子結構決定的、截然不同的形狀。雖然肥皂泡和晶體的特 性在一個世紀前就被理解了，然而，這些特性被極端理想化了，并且沒有考慮其他可能的作用力。例如，如果從外部對一個晶體施加某種能量，比如說熱能，那么這個晶體會如何形變？變化后的形狀會與之前的形狀 相似，還是截然不同？數學家想要精確地量化這種穩定性。
這個問題被菲加利及合作者當作一個最優輸運問題解決了。當施加的能量大小為 E 時，理想的晶體形狀被“輸運”到一個新的形狀。以晶體轉變為新形狀時必須移動的點陣的距離的平方作為損失函數，也就是這個過程的成本。菲加利等人得到了令人驚訝的簡單結果：當系統確立解的穩定性時，平均來說，每個點移動的量與深層的理論結果相等，這意味著，如果增加的能量保持適度，那么形狀的變化也將是如此。
與菲加利的工作有關的第二個例子是他與幾個合作者共同完成的， 這個工作同樣產生了深刻的理論成果，而且有些成功可以立即應用于推進對半地轉方程的理解。20世紀90年代，氣象學家首先提出了半地轉方程，用它們來模擬大氣和海洋中的大規模的動力學。氣象學家借此表 達對大規模流動現象的物理學理解，并涉及了諸如速度、壓強、地轉風 等物理量。
雖然半地轉方程似乎直觀地提供了大氣和海洋現象的正確描述，但要獲得方程的可靠解卻很困難。在這種情況下，方程可能不存在解，或者存在很多解，卻無法分辨哪個解能表達實際的物理現象。計算機幾乎幫不上什么忙，因為需要的近似可能最終提供的是不正確的解。我們需要的是對方程系統的穩健的理論理解，以及對于解的存在性與唯一性的嚴格結果。
這些正是菲加利及合作者創造的進展。他們考慮了另一個方程—— 蒙日-安培方程（Monge-Ampere equation），這個方程在數學中被廣泛研究，特別是在微分幾何中，并且出現在科學和工程領域的諸多問題中。
在半地轉的情境下，蒙日-安培方程表達的是從一種密度到另一種密度的最優輸運，其中，“成本”是行經距離的平方（動能的一種形式）。 這些密度可以是水滴，或者是云中的粒子，它們都以最優的方式四處移動。 對于一個確定的密度，蒙日-安培方程提供了最優輸運映射。
過去五十年來，關于蒙日-安培方程的所有已知結果都未能提供一 個明確的方法，來將最優運輸連接到半地轉現象的情境中。這就是為什么菲加利與合作者 Guido De Philippis 一起完成的工作讓人如此興奮。 他們在理解蒙日-安培方程解的結構方面取得了突破，而這個方程恰好提供了使得最優輸運理論能夠應用于半地轉方程所需的東西。
他們考慮氣流從最初的形狀和位置轉變為接下來的形狀和位置的最優輸運映射，并證明，在初始形狀中接近的點，在接下來的形狀中仍然彼此接近。接著，他們證明，輸運映射的這個特點蘊含著半地轉方程解的正則性。他們的工作優雅地平衡了技術策略與創造性的洞察力。
（本文刊于《289藝術風尚》2019/1-2月刊）
網絡編輯：吳悠
