逃離德黑蘭之后

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2018年春，在考切爾·比爾卡爾（Caucher Birkar）得知自己獲得了菲爾茨獎之后，他談起了自己的大學時光。比爾卡爾在伊朗西部庫爾德地區的一個農村出生和長大，后來進入伊朗最好的大學之一——德黑蘭大學學習。他回憶起自己在大學的數學俱樂部時常常盯著墻上掛的菲爾茨獎獲得者照片。“我看著這些人，對自己說，‘我會遇見其中的一個嗎？’在當時的伊朗，我甚至都不知道我能不能到西方國家去。”

比爾卡爾沒有料想到的還有很多：逃離伊朗，尋求政治庇護，他的工作令一個幾乎被拋棄的數學領域重新活躍起來。在里約熱內盧舉行的菲爾茨獎頒獎儀式上，比爾卡爾說：“我無法想象，我自己拿著獎章，我無法想象這會成真……庫爾德斯坦是一個不太可能讓孩子對數學產生興趣的地方。我希望這個獲獎消息會讓這里4000萬人的臉上露出笑容。”

伊朗數學家考切爾·比爾卡爾（Caucher Birkar）

比爾卡爾是雙有理幾何的主要貢獻者，他因在對不同類型的多項式方程進行的分類所作出的杰出貢獻而獲得2018年的菲爾茨獎。他證明了這類方程的無限多樣性可以被分割成有限數量的類別，這在代數幾何領域中是重大的突破。他對Fano簇的有限性的證明是他最有影響力的數學成果之一，這個成果源于他身上的一種創造新事物的沖動，自從他近三十年前在數學上自我啟蒙以來，這種沖動一直沒有消退。

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比爾卡爾出生于1978年，他家里一共六個孩子，他是老三。他的家人種植水稻、小麥和蔬菜，還飼養奶牛，偶爾還飼養馬，能保證自給自足。比爾卡爾的童年時期剛好是伊朗陷入動蕩之時：1979年的伊斯蘭革命以及隨后殘酷的持續八年之久的兩伊戰爭，然而所幸的是他的家庭條件保護了他。

比爾卡爾的父親只上過幾年學，他的母親則完全沒有受過正規教育。但比爾卡爾和他的兄弟姐妹進了鄉村學校學習。大約五年級時，比爾卡爾開始注意到了數學。“我感覺我的數學很好。”他說。那個時候，比爾卡爾的大哥海達爾是他在數學上的引領者，還教給了他微積分的基本概念。比爾卡爾記得大哥讓自己認識到：知識可以很精致。

到了高中時，比爾卡爾的數學知識已經超過了他哥哥，只能靠自學。他從圖書館借出《大數學家》（Menof Mathematics）和《數學是什么》（What Is Mathematics）等書。他的家人記得他經常一邊聽音樂，一邊讀書直到深夜，這個習慣到現在未變。

即使在他剛開始接觸專業數學的時候，比爾卡爾想要做的也不僅僅是欣賞別人的發現。“我讀了這些書之后覺得只是讀書還不夠。我想創造自己的東西，創造新的東西。”他說。

還在高中的時候，他就開始寫數學證明。等到了大學以后，他開始把這些證明投給一些數學期刊。在他受到正式數學訓練以后，他意識到他的證明很久以前就有人寫過了。“也許我當時沒有寫出任何重要的證明，但是那時候積累的經驗，那樣的態度之后對我的學業都很有用。”他說。

比爾卡爾在他本科的最后一年去了英國。他向英國政府尋求政治庇護，庫爾德人在伊朗經常遭受打壓。英國政府將他安置在諾丁漢，在政府處理他的請求的一年中，比爾卡爾結識了幾位諾丁漢大學的教授，在他的庇護申請獲得批準后，他轉入諾丁漢大學就讀。

比爾卡爾希望學習代數幾何，但是諾丁漢大學沒有人專門研究代數幾何。但比爾卡爾的導師、數論家伊凡·費先科（Ivan Fesenko）鼓勵他參加校外的數學會議。在2002年劍橋大學的一次會議上，比爾卡爾遇到了約翰斯·霍普金斯大學的數學家維亞切斯拉夫·沙克洛夫（Vyacheslav Shokurov）。

當他遇到比爾卡爾時，沙克洛夫已經在代數幾何里被稱為“雙有理幾何”（birational geometry）這幾乎被拋棄的領域里研究了好幾年。十多年前，雙有理幾何取得了一些重大進展，但是由于缺乏新想法，該領域已經陷入停滯狀態，許多數學家放棄了，沙克洛夫是少數幾個沒有放棄的人、沙克洛夫認為比爾卡爾會是能夠重振雙有理幾何的人。

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比爾卡爾在劍橋大學的辦公室里掛著兩張亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）的照片。格羅滕迪克也是難民，他所逃離的是納粹德國；這位20世紀最具影響力的數學家、現代代數幾何的奠基者在1966年獲得菲爾茨獎。其中一張照片是格羅滕迪克與20世紀70年代早期參與法國環境運動的形形色色的活動家們坐在一起。格羅滕迪克身上有兩點讓比爾卡爾很欽佩：他的數學視野以及他可以很自在地和各種各樣的人打交道。這個在伊朗長大的庫爾德人現居英國，夫人是泰國人，“這些各種各樣的文化很有趣，它們給我帶來愉悅。”比爾卡爾說。這種多元文化的結合從他的兒子身上就能很明顯地看到：這個4歲小童會說3門語言，泰語、庫爾德語和英語。

亞歷山大·格羅滕迪克

代數幾何也是兩種數學文化的融合，一端是代數——關于方程的研究，另一端是幾何——關于形狀的研究。這提供了看待同樣問題的兩種不同方式。代數幾何研究的基本對象名為代數簇（algebraicvariety），也就是一組多項式方程解的集合。取決于等式中變量的范圍，方程的解集可以具有不同的形式。以代數方程y=x+2為例，代表這個方程的幾何對象是一條直線，它的斜率為1，并與縱軸相交于點2。而如果想找到兩個線性方程共同的解，既可以通過代數方法聯立方程求解，也可以在坐標平面上繪制代表兩個線性方程的直線，確定它們的交點。代數方程x2+y2=1則表示坐標平面上以原點(0,0)為圓心、半徑為1的圓。在三維空間更可以考慮代數曲面，類似于二維空間的圓，方程x2+y2+z2=1表示三維空間中以原點(0,0,0)為球心、半徑為1的球面。

還有許多復雜的多項式方程。因此，數學家引入了代數簇的概念。存在無限數量的代數簇，每一個代數簇都有著獨特的幾何表示。代表線性方程的直線、圓、球面都是代數簇的例子，但是代數簇可以復雜得多，它們甚至可以存在于更高的維度。

代數簇具有高度的豐富性和靈活性，因此，數學家想要對代數簇進行分類。這種分類的沖動就像對自然中的生物進行分類一樣，通過分類，按照“界門綱目科屬種”來思考，而不是對著每一個生命體觀察與沉思，生物世界在我們的頭腦中會變得有規律可循，也更有意義。

資料圖

雙有理幾何就是變換代數簇以對其進行分類的一種方法。這就像是一個割補的過程：從一個有著自己獨特形式的代數簇開始，切掉它凹凸不平的地方，讓一些褶皺變得平滑，最終得到一種更普遍的形狀。當然，對于如何割補有著嚴格的規則限制，以確保不會完全改變最初的形狀。經過一番割補，許多最初截然不同的代數簇將變得相同，這時候，我們說它們屬于同樣的雙有理等價類（birational equivalence class）。

有三種雙有理等價類，也就是三種不同類型的代數簇：法諾簇（Fanovariety）、卡拉比-丘簇（Calabi-Yauvariety）、一般類型的簇（variety of general type）。這是代數簇的三種普遍形狀，就像“昆蟲”是對蝴蝶、蜜蜂、螞蟻等許多不同種類昆蟲的統稱一樣。數學家希望證明，通過雙有理變換（birational transformation），每一個代數簇都會轉化為三種類型中的一種。

比爾卡爾為了將無限多樣的方程分為有限多的種類，極小模型綱領（Minimal Model Program，MMP）提出了一種方法來識別每個類中特殊的簇，在某種意義上，這些簇是最簡單的，并且提供了可以構建其他更復雜的簇的基礎材料。

關于獲獎的一個花絮是，比爾卡爾獲得菲爾茨獎半小時后，公文包不見了，而包里除了手機、錢包，還有菲爾茨獎獎牌。公文包很快被找到，但是14K的金牌卻不見蹤影。為彌補比爾卡爾的損失，大會組委會4日舉行了一個特別儀式，為他頒發了一塊新的獎牌，他也因此成為了世界上第一個兩次領取菲爾茨獎獎牌的人。

考切爾·比爾卡爾在菲爾茨獎頒獎現場

（來源：《289藝術風尚》2019/1-2月刊）