王則柯回憶：數學大師閔嗣鶴先生教數學課的氣場

我是1959年上大學的。高考前要報志愿的時候，學校把高三大約一半同學召集起來，告訴他們說，“祖國需要你們，黨信任你們”，動員他們報考國家急需的專業和機密專業：軍工，航空，造船等。物理方面凡是我們中學生能夠想到的，包括無線電、半導體、光學、地球物理、原子能等，都屬于鼓勵他們報考之列。

我沒有被召集去接受動員，這讓我知道自己被列入另冊。我原來是準備報考無線電的，現在沒有動員我報無線電這樣的專業，我就選擇報考最不機密的數學和民用建筑。當時我們功課好一些的同學，都有上北京念書的愿望。最理想的，自然是北大清華了。我就斗膽以第一志愿報考北大的數學，第二志愿則是邊遠一所大學的民用建筑。說實在，之前我從未想過會把數學或者民用建筑作為自己的事業。

一個多月以后，我收到了北京大學的錄取通知書，和鄰班一位要好的同學一起，到北大數學力學系讀書，他在力學專業，我在數學專業。

數力系同學在低年級的主課，是《數學分析》，由閔嗣鶴先生主講，數學三個班、力學兩個班和計算數學一個班，共兩百多人一起上大課，習題課則分班由助教負責。五十年以后，我們同學在入學半世紀聚會時回憶當初的老師，大家贊美最多的，就是閔嗣鶴先生。記憶中深刻的畫面，是先生以乒乓球彈起來的高度越來越低，給我們講解數學分析的“無窮小”概念和“極限”概念。他還念誦出自《莊子》的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，說明我們的老祖宗很早以前就深刻地描述過無窮小的思想。

年輕時的閔嗣鶴先生。閔嗣鶴(1913.03.08-1973.10.10)，字彥群，著名數學家。出生于北京，祖籍江西奉新縣。從事解析數論研究，獲多項重要成果，并在應用數學方法解決石油工業及地質勘探中的若干重要理論與實際問題上貢獻卓著。1952年的院系調整后執教于北京大學，是北大數學發展歷程中最重要的數學家之一。在閔嗣鶴的努力下，北京大學數論方向的人才培養卓有成效，為紀念閔嗣鶴，2018年7月，北京大學閔嗣鶴數論研究中心正式成立。閔嗣鶴也是陳景潤哥德巴赫猜想研究的重要指導者和論文審讀者。

數學那么多分支，中國的數學曾經最接近世界水平的，是數論，其代表人物首先是大名鼎鼎的華羅庚，還有包括閔先生在內的一整個梯隊。50多年前陳景潤的論文“1+2”能夠宣傳得家喻戶曉，背景是他在嘗試攻克以“1+1”為符號的“哥德巴赫猜想”這個難以解決的數論問題的路途上，走到了世界的最前沿。論文寫好以后，需要一位足夠權威的數學家審閱確認，當時已經重病在身的閔先生就是拍板的人物。前幾年，張益唐博士在“孿生素數研究”方面取得世界注目的突破性進展，也是數論方面的工作。

除了認真聽課，我與閔先生并沒有課外的交往，但是我愿意在這里說說自己是怎樣在閔先生的課堂上，頭一次感受了強烈的豁然開朗，并且從此喜歡上了數學。

幸運考上北大，自然非常珍惜到北大跟一眾大師級教授讀書的機會。打聽到我們低年級最重要的課是數學分析以后，我就借來了蘇聯莫斯科大學辛欽教授的《數學分析簡明教程》的中譯本，志在笨鳥先飛，以便有一個不太差的開局?？上ёx不下去。想不到入學后閔先生給我們上第一課的時候，鄭重介紹給大家的參考書，正是辛欽教授的這個簡明教程。

聽到閔先生推薦辛欽的那一刻，我有點曾經押對了寶的感覺，可想起當時苦讀了大約一個星期，硬是什么新的東西都沒有讀懂，又不免“細思極恐”起來：明明憑運氣找對了書，可就是讀不下去！這可怎么是好？

幸虧不久，這“當頭一棒”就被閔先生潤物無聲的滋養化解了，時間點是他給我們講函數的“極限”概念的時候。原來，開課約莫個把月的時候，當閔先生按部就班一直波瀾不驚地給我們講課講到“極限”概念的時候，形勢開始明朗起來。

設y=f(x)是一個一元實函數，這里x和y都是實數，x是自變量，y是因變量，f表示從x到y的函數關系。數學里面，許多情形要考慮當自變量x趨于某個固定的值x0時，函數值f(x)趨向什么的問題。如果函數值f(x)趨向某個實數a，就說當自變量x趨于x0時，f(x)的極限是a。如果這點做不到，就說當自變量x趨于x0時，函數值f(x)沒有極限。

這里，關鍵是如何刻畫f(x)“趨向”a。趨向的數學意義，就是要多么接近就會多么接近。具體來說：任給一個表征函數值與a的距離要求的正數ε（念艾普西龍），都可以找到x與x0的某個距離要求δ（念德爾塔），使得只要x與x0的距離小于δ，函數值f(x)和a的距離都不大于ε。

合起來，關于函數的極限，通常就用上述所謂“ε-δ方法”來確認：如果對于任給的正數ε，都可以找到正數δ，使得對于所有與x0的距離小于δ的自變量x，函數值f(x)與a的距離都小于ε，我們就說當自變量x趨于x0時，函數f(x)的極限是a。

極限概念描述的是一種無限逼近的過程，越到后來越接近，要怎么近，就怎么近。這個過程在x離開x0還比較遠的時候，是無所謂的，關鍵是當x越來越接近x0的時候，f(x)要越來越接近a。具體來說，要不超過任意的ε那么遠，總可以找到一個δ，使得x與x0接近到不超過δ以后函數值與a的距離都不超過ε那么遠。

基于先前諄諄誘導的精確鋪墊，當“任給ε＞0，都可以找到一個δ＞0，使得當x與x0的距離不超過δ時，f(x)與a的距離都小于ε，……”這樣一串話從閔先生的口里清楚認真地慢慢講出來的時候，我覺得，這樣的語言好機敏呀，真是太漂亮啦。幾乎是馬上，極限的概念就比較準確牢靠地在我頭腦里樹立起來了。

想起開學以來因為無從入手，我從未做過預習，只是非常幸運地能夠一直保持著信任和愉快的心情把閔先生說的每一句話都聽進去，極限的概念就這樣順利地在我頭腦里扎根了。這讓我十分開心。不久我們更知道，不論是微分學還是積分學，都是用極限方法建立起來的。

對于閔先生的教學，我是雖不能至，心向往之。自感有點心得，就要身體力行，以至于接近半個世紀以后，我還會跟我的學生們說，上我的一些課我不建議預習。我追求的是當堂理解當堂消化的教學。這一切，就是出于閔先生的樣板。

后來的學習說明，極限的概念比較快能夠學好的話，后續的學習通常不會再有太大的困難。閔先生當然不是頭一個教學“ε-δ”方法的老師，但是能夠波瀾不驚地把“ε-δ”方法講得那么容易被接受，則完全是功力的體現。

形象上就是老老實實一板一眼地講課，沒有抑揚頓挫，更不會眉飛色舞，但是閔先生的課，卻讓我們大家受益終身。我不知道怎樣來概括先生的教學是好，只覺得入學以來一個多月，隨著同學們對老師的感受和傳言越來越多，閔先生仿佛有一股強大的氣場，讓欽佩先生的我們，對先生為我們精心準備的一切，都變得容易接受?；剡^頭來說，我雖然碰巧找到辛欽的《數學分析簡明教程》，也只有當閔先生在課上把我們引進數學分析的門了，這本書才變得讓我越讀越有勁。

◎作者附記：《數學分析簡明教程》的家庭故事

作者意外在中大圖書館發現的、原本屬于作者大哥大嫂的《數學分析簡明教程》中譯本上下冊。

2021年6月的一天，我為了寫作《閔嗣鶴先生的氣場》，從學校圖書館借閱了莫斯科大學辛欽教授的《數學分析簡明教程》中譯本上下兩冊，意外地發現，上冊的封面上有我大嫂吳水蓮的簽名，她本科學的也是數學。再翻閱內頁，馬上看到中山大學圖書館的“贈閱與交換”章和“王兆凱先生惠贈”章，以及大哥王兆凱手寫的“吳水蓮五五年元月北京”，猜想這本書原來是大哥于1955年元月給大嫂買的。再看下冊，封面和扉頁都沒有任何人的筆跡，但是有一方“吳水蓮印”。上冊是1954年10月頭版首印的版本，下冊是1955年7月頭版三印的版本。這樣看來，當上冊在1955年元月被買下時，后來他們買到的這本下冊還沒有面市。于是我想象，是1955年元月大哥大嫂一起在北京的時候，他們買了上冊，半年或者更長時間以后，大嫂自己買來了下冊。

繼續想象下去，那就是在半個多世紀以后，大哥大嫂清理藏書，覺得這套《數學分析簡明教程》依然保存完好，就捐給了中山大學圖書館，圖書館認為值得收藏，就編入流通。圖書館很有眼光：全館借閱電子化后不再使用的借閱單還沒有撕去，讓我們知道直到2013年還有借閱這兩本舊書的記錄。

大哥曾經安慰我說：“學數學好。數學學好了，看數理的和工程的著作，就像看小說一樣?！焙髞砦也磐锤?，讀完一本小說，對我其實很不容易。

（本文原題《閔嗣鶴先生教數學的氣場》，作者王則柯，中山大學教授、經濟學家）

來源：南方都市報