張益唐證明了什么？

加利福尼亞大學圣塔芭芭拉分校教授張益唐。 （視覺中國/圖）

2022年11月5日，加利福尼亞大學圣塔芭芭拉分校教授、華人數學家張益唐在預印本網站（arXiv）上發布了一篇題為《離散平均估計與朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero）的，共計110頁的論文。這篇論文正是上個月張益唐在一次在線座談活動中提到的，證明了朗道-西格爾零點猜想的工作。

如果這篇論文最終被驗證是正確的，那么這將是近年來關于黎曼猜想相關問題的最大突破。雖然驗證這項工作的正確性還需要比較長的一段時間，但是在這里，我們可以先簡單地介紹一下朗道-西格爾零點猜想和黎曼猜想這一希爾伯特二十三問題和千禧年大獎難題雙料難題的關系，同時也簡單介紹一下張益唐所做的工作。

黎曼猜想與廣義黎曼猜想

自人類文明誕生之初起，出于統計物品數量和丈量土地的需要，對數字和圖形的計算便從未停止過。早期的數學就發端于這些日?；顒?。而對數字和圖形的研究，則逐漸發展成為了數論和幾何，這兩個最為古老，也最為重要的數學分支。以至于在一百多年前，恩格斯都會在《自然辯證法》中寫道：“數學是研究數量關系和空間形式的學科?！睍r至今日，即使數學相較于恩格斯寫下那段話的時候，已經有了長足的發展，也出現了許多全新的數學分支。但是數論，這一專門研究整數的數學分支，仍然是最為純粹，也最為重要的數學分支之一?！皵祵W王子”高斯就曾經說過：“數學是科學的皇后，數論是數學的皇后?！?/p>

而在數論的研究對象，整數，或者說自然數當中，有一類極為特殊的數，素數。也即像2、3、5、7、11……這樣，僅能被1和它自身整除的數。因為素數本身的獨特性，很多數論當中極為困難的猜想都和素數有關。例如哥德巴赫猜想，孿生素數猜想等等等等。

黎曼猜想，就是一個關于素數整體規律的猜想。同時，它也是數論當中最為困難，也最為重要的未解難題之一。

這一猜想由德國數學家伯恩哈德·黎曼在1859年提出。那一年黎曼當選了柏林科學院通訊院士。作為對這一榮譽的回應，他向柏林科學院提交了一篇題為《論小于給定數值的素數個數》的論文，日后被稱為黎曼猜想的問題，就出自這篇論文。

在這篇論文中，黎曼定義了一個日后被稱作“黎曼ζ（讀作澤塔）函數” 的復值函數， 并用這個函數去研究素數的規律：

而在那篇論文中，黎曼還提到了一個他不知道怎么解決的問題：他猜測，黎曼ζ函數的所有非平凡零點，都在實部為1/2的這條直線上。并且這些非平凡的零點和素數分布的詳細規律密切相關。這里之所以要強調非平凡零點，是因為諸如-2，-4，-6等等等等，所有的負偶數，都是黎曼ζ函數的零點，而這些零點是顯而易見的，因此被稱作平凡零點。除此之外的零點才是有研究意義的，它們則被稱作是非平凡零點。

這就是此后困擾數學家們一百六十多年的黎曼猜想。

很容易就會發現，雖然都是數論中與素數有關的猜想，但是黎曼猜想在表述上和哥德巴赫猜想、孿生素數猜想等有著很大的不同。相較于“任意大于2的偶數都可以寫作兩個素數的和”“有無窮多對相鄰的素數對”這樣簡單直白的問題描述，黎曼猜想在表述上顯得復雜得多。先是定義了一個很復雜的函數，