走向抽象化的數學

真正與“抽象代數”相對應的應該是“抽象藝術”，專指那些沒有任何可以辨認的主題的繪畫，俄國畫家康定斯基被認為是第一個“抽象畫家”。

集合論和公理化

19世紀幾何學和代數學的變革，給20世紀的數學帶來飛速的發展和空前的繁榮?，F代數學不再只是幾何、代數和分析這幾門傳統學科，而已成為分支眾多、結構龐雜的知識體系，并仍在不斷發展變化之中。數學的特點不僅只有嚴密的邏輯性，更添加了另外兩條，即高度的抽象性和廣泛的應用性，并因此形成了現代數學研究的兩個大的范圍，即純粹數學和應用數學。其中后者的一部分發展出計算機，撇開它的重要性，單就為人類所提供的就業崗位來說，就超過了所有其他數學分支的總和。

純粹數學最初主要是受兩個因素的推動，即集合論的滲透和公理化方法的應用。集合論本來是由康托爾于19世紀后期創立的，曾遭到包括克羅內克等在內的許多大數學家的反對，后來因其在數學中的作用越來越明顯才獲得承認。集合最初是建立在數集或點集上，不久定義的范圍得以擴大，可以是任何元素的集合，如函數的集合、幾何圖形的集合等等。這就使得集合論作為一種普遍的語言進入數學的不同領域，引起了數學中積分、函數、空間等基本概念的深刻變化，同時刺激了本文將要談到的數理邏輯中直覺主義與形式主義的進一步發展。

康托爾本是圣彼得堡出生的丹麥人，其猶太父母年輕時在俄國經商，生意做到了漢堡、倫敦乃至紐約。他與凱利一樣，可謂在外從商者子女成才的楷模，只不過康托爾的祖父母就到了圣彼得堡。11歲那年，康托爾隨父母遷居德國，在那里度過了一生的絕大部分時光。他在荷蘭的阿姆斯特丹上了中學，后來又到瑞士的蘇黎世和德國的幾所大學求學，逐漸喜歡上數學并決定以此為職業，盡管他在繪畫方面所表現出的才能曾使全家為之驕傲。

在康托爾眼里，集合是一些對象的總體，不管它們是有限的還是無限的。當運用一一對應去研究集合時，他得出了驚人的結果：有理數是可數的，即能與自然數一一對應。與此同時，他證明了：全體實數是不可數的。

不僅如此，康托爾還給出了超越數存在性的非構造性證明。事實上，康托爾證明了代數數和有理數一樣也是可數的，同時又證明了實數是不可數的。這樣一來，由于代數數和超越數的全體構成了實數，超越數不僅存在而且數量比代數數要多得多。對超越數的研究后來成為20世紀數論研究的一道風景?？墒?，當康托爾認定無限是真實存在時，受到同行長期的反對和攻擊，尤以柏林大學的猶太教授克羅內克（1823-1891）為甚，后者不僅是個杰出的數學家和成功的商人，在科學論戰方面也是最有力的斗士，而康托爾卻軟弱無能，雖然真理在他那邊，以至于他畢生都在一所三流大學做教授。

康托爾為集合論引進了基數的理論，稱全體整數的基數為阿列夫零，稱后面較大的基數為阿列夫一、阿列夫二，等等（阿列夫是希伯來字母，康托爾也是猶太人）。也就是說，他對無窮作了分類。他并證明，全體實數集合的基數大于阿列夫零。這就引出了所謂的康托爾連續統假設：在阿列夫零與全體實數的基數之間不存在任何別的基數。20世紀初，德國數學家希爾伯特在巴黎世界數學家大會上發表著名的《數學問題》演講時，把這個假設或猜想列在留給20世紀的23個數學問題的最前列（超越數問題則列在第7位）。

當康托爾發現，“數學的肌體”害了重病，古希臘的芝諾傳染給它的疾病還沒有得到緩解，他便不由自由地想醫治它?？墒?，他對無窮問題所作的普羅米修斯式的進攻卻使自己精神崩潰，那年他才40歲。很久以后，他死在德國中部的一家精神病院。在希爾伯特發表演講的第二年，羅素也談了自己的看法：

芝諾關心過三