通往博格莫洛夫猜想的旅程

近日，數學期刊《數學年刊》（Annals of Mathematics）正式接收了北京大學數學教授、被譽為“北大數學黃金一代”其中之一的袁新意獨立完成的論文《算術大性與一致博格莫洛夫型結果》（Arithmetic bigness and a uniform Bogomolov-type result）。

《數學年刊》是世界頂級數學期刊之一，它和《數學新進展》（Inventiones Mathematicae）、《數學學報》（Acta Mathematica）以及《美國數學會雜志》（Journal of the American Mathematical Society）一起，并稱為數學“四大頂刊”。許多重要的數學研究成果，諸如安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明，以及張益唐對孿生素數猜想的突破性進展等，都發表在《數學年刊》上。

2018年袁新意在加州大學伯克利分校講課。（資料圖）

袁新意教授的這篇論文，延續了他在算術幾何，特別是丟番圖幾何領域一直以來的工作。同時，這也是對博格莫洛夫猜想及其相關問題研究的最新進展。

丟番圖問題

博格莫洛夫猜想，由科朗數學科學研究所教授費爾多·博格莫洛夫（Fedor Bogomolov）提出。這一猜想和一個古老的數學問題有關，那就是求解丟番圖方程。

在數學上，方程是一個非?；镜母拍?。含有未知數的等式叫做方程，而求出方程中未知數的具體數值，或者證明方程不存在解的過程，就叫做“解方程”。數學家們求解各種方程的過程，貫穿了長達數千年的整個數學史。

所謂的丟番圖方程，則是一類非常特殊的方程，這一類方程也被叫做“不定方程”。它指的是整數系數的多項式方程。而所謂的丟番圖問題，指的是要求出丟番圖方程的所有整數解，或者證明其不存在任何整數解。

例如，勾股定理“平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度的平方和等于斜邊長的平方”，用等式寫出來為x^2+y^2=z^2。這就是一個丟番圖方程。而“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是這個丟番圖方程的一個解。

丟番圖方程的名字來源于3世紀希臘數學家丟番圖。在其所著的著作《算術》（Arithmetica）中，就有關于丟番圖問題的內容。

1637年，法國數學家費馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信我發現一種美妙的證法，可惜這里的空白處太小，寫不下?！?/p>

費馬的這一論述，就是日后著名的費馬大定理。這一定理的證明，則要