三維掛谷猜想或被證明

2025年2月24日，紐約大學科朗數學科學研究所助理教授王虹與不列顛哥倫比亞大學助理教授約書亞·扎爾 （Joshua Zahl）在預印本網站（arXiv）上，提交了一篇題為《凸集的并集的體積估計和三維掛谷集猜想》（Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions）的論文。在這篇127頁的論文中，王虹和扎爾給出了三維掛谷集猜想的一個證明。

稍后，陶哲軒在自己的博客上對這篇論文做了解讀，并將其評價為“幾何測度論領域的驚人進展”。

掛谷問題與掛谷集猜想

掛谷集猜想，是一個距今已經超過一百年歷史的數學猜想。

在1917年，日本數學家掛谷宗一提出了一個日后被稱為“掛谷問題”的數學問題。這一問題有一個形象的生活化版本，被稱為“武士如廁”問題：“一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊。一時之間矢石如雨，而他只有一根短棒用來防身。為了擋住射向他的箭矢，武士需要揮舞短棒旋轉一周。但武士所處的廁所很小，所以應當使短棒掃過的面積盡可能小。那么，這根短棒掃過的面積最小可以小到多少？”

這一問題的嚴格數學描述則是這樣的：“平面上是否存在一個面積最小的區域D，使得一個長度為1的單位線段可以在D內旋轉360°？”這樣的區域D，就被稱為掛谷集（Kakeya set）。而所謂的掛谷問題，就是在問，所有平面上的掛谷集的面積最小可以是多少。

顯然，這根線段按照不同的方式選擇，所掃過的掛谷集的面積是不同的。例如，如果線段繞著某一個端點旋轉一周，其掃過的區域為一個半徑為1的圓盤，面積為π。而如果線段繞著中點旋轉一周，其掃過的區域為一個半徑為1/2的圓盤，面積為π/4。

掛谷宗一本人認為，面積最小的平面掛谷集為一個剛好可以容納單位線段的三尖瓣線圍成的區域。此時，這個平面掛谷集的面積為π/8。

在1920年，前蘇聯數學家阿布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）在研究黎曼積分的時候，給出了一個被稱作貝西科維奇集的平面區域。這個貝西科維奇集，包含了指向所有方向的單位線段。同時，它也是一個勒貝格零測集。

在數學中，測度是一種將幾何空間的度量（長度、面積、體積）廣義化后產生的概念。