【果殼探索】紙上談兵：薩爾滸之戰以少勝多的原理

歷史上那些以少勝多的戰役總是被后人津津樂道，因為它們時常讓人覺得有些不可思議。這一次，本文用數學解析戰爭，講述了明清之間最重要的一場戰役——薩爾滸之戰以少勝多背后的數學故事。來看死理性派揮斥方遒，紙上談兵吧。

小時候我們都學過紙上談兵這個詞。其實歷史上紙上談兵的并非只有趙括一人，還有數學家。1914年一戰期間，英國工程師弗雷德里克•蘭徹斯特（我敢打賭這家伙是一個死理性派）異想天開地用數學解析戰爭，創立了著名的蘭徹斯特戰斗模型。通過它，我們能很容易地發現以少勝多背后的數學故事，比如經典的薩爾滸之戰。

但在故事開始前，有必要說明的是，這只是 一個簡化的數學模型 ，忽略了一些難以量化的因素，譬如天時、地利、人和以及政治因素，而它們對戰爭也有舉足輕重的影響。事實上，從科學角度講，研究結果僅對研究的模型有效。不過我們都知道，研究總是從基礎模型開始的。

用蘭徹斯特模型解析戰爭

（果殼網/圖）

這個著名的蘭徹斯特戰斗模型，實際上是一個討論參戰方戰斗力和時間關系的模型，可以用來宏觀地描述參戰雙方的戰斗力損耗過程。這樣說或許有些抽象，讓我們先思考一個問題，現在有兩支軍隊 A 軍和 B 軍。A 軍以精銳著稱，但兵力只有 B 軍的一半，B 軍人多勢眾，但單兵作戰能力平均只有A軍士兵的一半, 除此之外它們其他方面全部是等同的。如果這兩支軍隊交戰，一支軍隊消滅另一支軍隊即為勝利，你認為誰將是這場戰斗的贏家？讀者們不妨先選定一個答案（ A 勝、B 勝或者玉石俱焚），然后再來看看蘭徹斯特戰斗模型怎么說。

假設現在有一場戰斗，交戰的雙方為甲方和乙方。我們規定它們在戰斗中某一時刻的戰斗力（冷兵器時代，一般情況下就是部隊中士兵的人數）分別是 x( t ) 和 y( t ) ，其中t表示時間。同時為方便起見，假設 x( t ) 和 y( t ) 都是關于 t 的連續可微函數，且恒為非負。換言之，雙方的戰斗力都是隨著時間連續變化的，不可能在某一時刻發生突變（譬如《西游記》中的孫悟空從天宮搬來救兵），也不可能在某一時刻有變化率的突變（譬如打架的時候被對方一巴掌打通任督二脈）。

在此基礎上，我們再假設某方戰斗力的變化都是由于敵方對它的攻擊造成的，這樣戰斗力在某一時刻的變化量，便只和該時刻對方的戰斗力正相關。

據此我們可