素數之魂——黎曼和他的偉大猜想

與費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀的紀錄還差得很遠，但它在數學上的重要性要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。黎曼猜想是當今數學界最重要、最期待解決的數學難題。

黎曼（1826-1866）是歷史上最具想象力的數學家之一。

1

2000年5月24日，美國克雷數學研究所在法國巴黎召開了一次數學會議。在會議上，與會者們列出了七個數學難題，并作出了一個頗具轟動性的決定：為每個難題設立一百萬美元的巨額獎金。距此次會議一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次數學會議上，一位名叫希爾伯特的德國數學大師也列出了一系列數學難題。那些難題一分錢的獎金都沒有，但對后世的數學發展產生了深遠影響。這兩次遠隔一個世紀遙相呼應的數學會議除了都在巴黎召開外，還有一個相同的地方，那就是在所列舉的問題之中，有一個且只有一個難題是共同的。

那個難題就是“黎曼猜想”。

黎曼猜想顧名思義，是由一位名叫黎曼的數學家提出的，這位數學家于1826年出生在一座如今屬于德國，當時屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小于給定數值的素數個數”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。素數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大于1的正整數都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數論中的地位類似于物理世界中用以構筑萬物的原子。素數的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。

黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了素數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數之中——尤其是，使那個函數取值為零的一系列特殊的點對素數分布的細致規律有著決定性的影響。那個函數如今被稱為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點(下文中有時將簡稱其為零點)。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了后世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。

在希爾伯特難題中，黎曼猜想排在第8個。

2

黎曼為什么要把那么多并非顯而易見的證明從略呢？也許是因為它們對于他來說確實是顯而易見的，也許是因為不想花太多的時間來撰寫文章。但有一點基本可以確定，那就是他的“證明從略”絕非類似于調皮學生蒙混考試的做法，而且很可能也并非是把錯誤證明當成正確的盲目樂觀——后者在數學史上不