十萬億個證據不如一個證明——猜猜黎曼猜想的命運

等待黎曼猜想的命運是被證明，還是被推翻？現在的零點計算已經超過了十萬億，但由于零點有無窮多個，再多的數值證據也是微不足道的。

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黎曼那篇提出了黎曼猜想的著名論文除了含有許多“證明從略”的地方外，還有一個突出的特點，那就是它雖然反復涉及了黎曼ζ函數的非平凡零點，甚至還提出了與零點分布有關的一系列命題(包括大名鼎鼎的黎曼猜想)，卻沒有舉出哪怕一個具體的例子——即沒有給出哪怕一個零點的數值。而且與那些“證明從略”的地方并非容易證明同樣要命的是，黎曼不曾給出的那些零點的數值也并非是輕易就能計算得出的。事實上，直到黎曼那篇論文發表四十四年之后的1903年，才有人填補了這方面的空白：丹麥數學家格蘭姆計算出了15個零點的數值。這是人們首次窺視到零點的具體存在。當然，那15個零點全都位于黎曼猜想所預言的臨界線上。

1850年代初的黎曼

哈代

與我們在上篇中介紹的理論研究中的層層推進基本平行，數學家們計算零點的漫長征途，也有著層層推進的態勢。但這推進的過程在起初的一段時間卻顯得極為緩慢，直到1925年，才計算出了區區138個零點，而且在那之后就陷入了停頓。計算為什么會陷入停頓呢？原因很簡單，那就是當時計算零點的方法比較笨拙，致使計算量過于巨大。而那時的計算全靠手工，零點數目一多，計算量就大到了令人難以應付的程度。

既然是計算方法的笨拙使計算陷入了停頓，那么很顯然，計算的重新啟動需要有新的計算方法。這新的計算方法在七年后的1932年終于“出土”了——我沒有寫錯，確實是“出土”，因為它是從早已去世了的黎曼的手稿中“挖”出來的！

黎曼那個時代的一些著名數學家有一個今天的數學家們很少效仿的特點，那就是常常不發表自己的研究成果。由于這個特點，那些數學家的手稿有著比普通名人用品所具有的單純的獵奇價值大得多的價值，因為從中有可能發現一些他們未曾發表的研究成果。黎曼的手稿就是如此。

令人惋惜的是，黎曼的手稿在他去世之后有很大一部分被他的管家付之一炬了，只有一小部分被他妻子搶救了出來。在這部分劫后余生的手稿中，又有一部分被他妻子以涉及私人信息為由“克扣”掉了(其中包括許多幾乎通篇都是數學，只夾帶了極少量私人信息的手稿)，剩下的才是后人真正可以查閱的。那些可供查閱的手稿被收錄于哥廷根大學的圖書館。

不過，那部分手稿雖然可供查閱，但只要想想黎曼公開發表的文章都如此艱深，動輒花費后世數學家幾十年的時間才能填補空白，就不難想象研讀他的手稿會是什么感覺了。黎曼的研究領域極為寬廣，手稿中常常諸般論題混雜，而且幾乎沒有半句說明。自黎曼的手稿被存放于哥廷根大學圖書館以來，陸續有一些數學家及數學史學家慕名前去研究。但在那極度的艱深晦澀面前，大都滿懷希望而來，卻兩手空空而去。黎曼的手稿就像一本高明的密碼本，牢牢守護著這位偉大數學家的思維奧秘。

但到了1932年，終于有一位數學家從黎曼的手稿中獲得了重大發現——發現黎曼不僅親自計算過若干個零點的數值