【專欄】康托爾、哥德爾、圖靈——永恒的金色對角線（10）

大道至簡——康托爾的天才

“大道至簡”這個名詞或許更多出現在文學和哲學里面，一般用在一些模模糊糊玄玄乎乎的哲學觀點上。然而，用在這里，數學上，這個名詞才終于適得其所。大道至簡，看上去最復雜的理論其實建立在一個最簡單最純粹的道理之上。

康托爾在無窮集合和超限數方面的工作主要集中在兩篇突破性的論文上，這也是我所見過的最純粹最美妙的數學論文，現代的數學理論充斥了太多復雜的符號和概念，很多時候讓人看不到最本質的東西，當然，不否認這些東西很多也是有用的，然而，要領悟真正的數學美，像集合論和數論這種純粹的東西，真的非常適合。不過這里就不過多談論數學的細節了，只說康托爾引入對角線方法的動機和什么是對角線方法。

神奇的一一對應

康托爾在研究無窮集合的時候，富有洞察性地看到了對于無窮集合的大小問題，我們不能再使用直觀的“所含元素的個數”來描述，于是他創造性地將一一對應引入進來，兩個無窮集合“大小”一樣當且僅當它們的元素之間能夠構成一一對應。這是一個非常直觀的概念，一一對應嘛，當然個數相等了，是不是呢？然而這同時就是它不直觀的地方了。對于無窮集合，我們日常的所謂“個數”的概念不管用了，因為無窮集合里面的元素個數本就是無窮多個。不信我們來看一個小小的例子。我們說自然數集合能夠跟偶數集合構成一一對應，從而自然數集合跟偶數集合里面元素“個數”是一樣多的。怎么可能？偶數集合是自然數集合的真子集，所有偶數都是自然數，但自然數里面還包含奇數呢，說起來應該是二倍的關系不是？不是！我們只要這樣來構造一一對應：

1 2 3 4 …

2 4 6 8 …

用函數來描述就是 f(n) = 2n。檢驗一下是不是一一對應的？不可思議對嗎？還有更不可思議的，自然數集是跟有理數集一一對應的！對應函數的構造就留給你解決吧，提示，按如下方式來挨個數所有的有理數：

1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 3/1 1/4 2/3 3/2 4/1 …

用這種一一對應的手法還可以得到很多驚人的結論，如一條直線上所有的點跟一個平面上所有的點構成一一對應（也就是說復數集合跟實數集合構成一一對應）。以致于連康托爾自己都不敢相信自己的眼睛了，這也就是為什么他在給戴得金的信中會說“我看到了它，卻不敢相信它”的原因。

然而，除了一一對應之外，還有沒有不能構成一一對應的兩個無窮集合呢？有。實數集合就比自然數集合要“大”，它們之間實際上無法構成一一對應。這就是康托爾的對角線方法要解決的問題。

（待續；此文的修訂版已收錄《暗時間》一書，由電子工業出版社2011年8月出版。作者于2009年7月獲得南京大學計算機系碩士學位，現在微軟亞洲研究院創新工程中心從事軟件研發工程師工作。）